2. 페르마의 원리(Fermat's Principle)
페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)으로도 유명한 페이르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1607-1665)는 본 직업이 판사였지만, 아마추어 수학자, 물리학자, 천문학자로서 17세기 학문의 발전에 큰 발전을 이끌었다. 6개의 언어에 능통하고 시도 굉장히 잘 지어 언어적인 재능이 뛰어났지만, 취미 수준의 수학, 물리학, 천문학을 다뤘음에도 당시 르네 데카르트, 블레즈 파스칼 등과 학문적 교류를 할 만큼 굉장한 재능을 가졌으며, 중요한 발견도 제법 있었다. 그중 광학에서 중요한 원리인 페르마의 원리(Fermat's Principle)에 대해 알아보자.
위에서 기술한 바와 같이 헤론의반사 법칙은 일종의 최소화 원리(Minimum principle)이었다. 최소화 원리란, 어떠한 물리량을 최소화한다는 의미를 가지고 있다. 헤론의 반사 법칙은 반사에 있어서 잘 설명되었으나, 굴절에 있어 잘 설명되지 않는 한계를 지녔다.
페르마는 헤론의 반사 법칙과 같은 최소화 원리를 반사 뿐만 아니라 굴절에도 최소화 원리를 적용하여 확장하고 싶었다. 그리하여 나온 것이 페르마의 원리(Fermat's principle)이다. 페르마의 원리(Fermat's principle)은 한 점에서 다른 점으로 빛이 진행할 때, 빛의 경로를 최소화하는 것이 아닌 빛이 진행하는 시간을 최소화하는 것이라 주장했다.
- 반사에서의 페르마 원리
먼저 굴절에서의 페르마 원리를 보이기 전에, 반사에서의 경우 페르마의 원리와 헤론의 반사 법칙이 동일함을 보여보자.
먼저, 반사의 경우 $A$ 지점과 $B$ 지점은 같은 매질에 있다. 같은 매질(물질)인 경우 굴절률이 같다는 점이 중요하다. 굴절률 $n$은,
$$ n = \frac{c}{v} $$
이때, $c$는 진공에서의 빛의 속도이고, $v$는 매질에서의 빛의 속도이다. 같은 매질인 경우 굴절률이 서로 같으므로 매질에서의 빛의 속도 $v$는 같다. 그렇다면, 빛이 이동한 거리 $L$은,
$$ L = cT $$
이때, $ c $는 상수($299,792,458 m/s$)이므로, 페르마의 원리에 의해 빛이 이동한 시간을 최소화한다는 것은 헤론의 반사 법칙에서 광학적 경로 길이(OPL)을 최소화하는 것과 동일하다.
- 굴절에서의 페르마 원리
먼저, 경계면(점선) 윗부분이 굴절률 $n_1$이고, 경계면 아래 부분을 굴절률 $n_2$라고 하자. 그렇다면 각 매질에서의 속도와 굴절률 관계는 다음과 같다.
$$ v_1 = \frac{c}{n_1}, v_2 = \frac{c}{n_2} $$
경계면 위 매질(물질)을 매질 1이라고 하고, 경계면 아래 매질을 매질 2라고 하였을때, 매질 1 내분의 점 $A = (0,y_1)$, 매질 내부의 점 $B = (d,-y_2)$라고 설정하자. 또한, 굴절이 일어나는 지점 $P = (x, 0)$이라고 하자. $A$와 $P$가지의 거리와 $P$에서 $B$까지의 거리는 다음과 같다.
$$ L_1 = \sqrt{x^2+y_1^2}, \quad L_2 = \sqrt{ (d-x)^2 + y_2^2} $$
위의 두 식에 의해 각 구간에서 빛이 이동하는 데 걸리는 시간은 다음과 같다.
$$ t_1 = \frac{L_1}{v_1} = \frac{n_1}{c} \sqrt{x^2 + y_1^2} $$
$$ t_2 = \frac{L_2}{v_2} = \frac{n_2}{c} \sqrt{(d-x)^2 + y_2^2} $$
따라서 전체 이동하는 데 걸리는 시간은,
$$ T(x) = \frac{n_1}{c} \sqrt{x^2 + y_1^2 } + \frac{n_2}{c} \sqrt{(d-x)^2 + y_2^2} $$
으로 빛이 진행하는 데 걸리는 시간 $ T(x) $는 굴절이 일어나는 위치 $x$를 인자로 하는 함수가 된다. 또한, $c$는 상수이므로, 다음과 같이 광학적 경로 길이(OPL)을 최소화하는 문제로 환원(변환)할 수 있다.
$$ OPL(x) = c T(x) = n_1 \sqrt{x^2 + y_1^2} + n_2 \sqrt{(d-x)^2 + y_2^2} $$
그렇다면, 이 $OPL$을 최소화하기 위해선, 함수 $OPL(x)$의 극소점(local minimum)들을 찾으면 되는 문제가 된다. 극소점을 찾기 위해, $OPL(x)$를 $x$에 대해 미분하여 0이 되는 $x$를 찾으면 된다.
$$ \frac{d}{dx} OPL(x) = 0 $$
$$ = \frac{d}{dx} n_1 \sqrt{x^2 + y_1^2} + n_2 \sqrt{(d-x)^2 + y_2^2} = n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y_1^2}} - n_2 \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}} = 0$$
따라서 위의 관계식을 만족하는 점 $x$가 $OPL(x)$를 최소화하는 굴절 위치가 된다.
또한 이를 통해 굴절에서 가장 중요한 스넬의 법칙(Snell's Law)가 유도되는 것을 확인할 수 있다. 매질 1에서 점 $ A = (0, y_1) $과 점 $P = (x,0)$을 잇는 선과 경계면 사이를 $\angle \theta_1$라고 하자. 그렇다면 피타고라스 법칙을 활용하여 다음을 알 수 있다.
$$ sin \theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+y_1^2}} $$
같은 방식으로 매질 2에서 점 $P = (x,0)$와 점 $B = (d,-y2)$를 잇는 선과 경계면 사이를 $ \angle \theta_2$라고 한다면,
$$ sin \theta_2 = \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + y_2^2}} $$
따라서, 위의 $OPL(x)$의 최소화 조건에 입사각 $\theta_1$, $\theta_2$ 식을 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ n_1 sin \theta_1 = n_2 sin \theta_2 $$
즉, 스넬의 법칙(Snell's Law)는 페르마의 원리(Fermat's Principle)로 유도됨을 알 수 있고, 따라서 페르마의 원리는 굴절 현상을 잘 설명한다.
헤론의 반사 법칙에서 적용된 최소화 원리은 페르마의 원리까지 확장되어 사용되었다. 또한 페르마의 원리를 통해 굴절에서 중요한 법칙인 스넬의 법칙을 유도할 수 있었다. 페르마는 스넬의 법칙을 유도한 뒤 이러한 말을 남겼다고 한다.
The most extraordinary, the most unforeseen, and the happiest calculatoin
확실히 페르마의 아이디어는 놀라웠다. 단순히 두 점을 잇는 진행 경로 중 빛이 진행하는 시간을 최소화하는 경로를 선택하였을 뿐이었는데, 스넬의 법칙이 유도되었다. 이러한 최소화 원리는 강력한 원리처럼 느껴진다. 다음 챕터에서는 이러한 베르누이가 확장시킨 페르마의 원리에 대해 다루고자 한다.
-출처
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