0. 서론
이 글은 광학에서의 "헤론의 반사 법칙"으로부터 시작하여 고전역학의 놀라운 아이디어인 "최소의 작용 법칙"까지 연결되는 이야기해보고자 한다. 이 글은 포스트는 다음의 유튜브 내용을 기반하여 작성하였다.
1. 헤론의 반사 법칙(Heron's Principle of reflection)
헤론(10년경 ~ 70년경)은 고대 이집트에서 태어나 알렉산드리아에서 태어난 고대 그리스인 발명가이자 수학자였다. 헤론은 기하학과 광학에서 많은 업적을 남겼는데, 헤론의 공식(Heron's formula)와 헤론의 반사 법칙(Heron's Principle of reflection)이 그 예이다.
- 헤론의 공식(Heron's formula)
$$ S = \left ( s(s-a)(s-b)(s-c) \right ), s = \frac{a+b+c}{2} $$
- 헤론의 반사법칙(Heron's principle of reflection)
헤론은 특히 광학에 있어 중요한 초석이 된 헤론의 반사 법칙(Heron's principle of reflection)을 만들었는데, 한번 살펴보도록 하자.
헤론의 반사 법칙(Heron's Principle of Reflection)은 빛의 경로를 최소화하는 방향으로 반사가 일어난다는 것이다. 이 법칙은 굴절과 같은 다른 광학 현상에서 설명되지 않았으나 반사 법칙에 대해 잘 설명되었다.
- 헤론의 반사 법칙 증명
중학교와 고등학교에서 가르치는 반사의 법칙은 입사각과 반사각의 크기가 항상 같다고 배웠다. 헤론의 밥사 법칙은 이를 정확히 설명한다. 어떻게 입사각과 반사각이 서로 같음을 알려줄 수 있을까?
위 그림과 같이 빛이 A로부터 출발하여 임의의 반사지점 P에 도달하여 반사되고, B 지점에 도달한다고 하자. 그리고 B 지점이 반사면을 기준으로 대칭되는 지정믈 B'이라고 하자. 그렇다면 $ \overline{PB} = \overline{PB'} $이므로, 빛이 진행한 경로인 $ \overline{AP} + \overline{PB} $는 $ \overline{AP} + \overline{PB'} $와 같다.
헤론의 반사 법칙(Heron's Principle of reflection)에 의하면, 빛은 빛의 경로를 최소화하는 방향으로 반사가 일어난다고 하였다. 이때 빛의 경로 길이를 광학적 경로 길이(Optical Path Length, OPL)이라고 한다. 따라서, OPL을 최소화하는 문제가 되어야 하므로 OPL $\overline{AP}+\overline{PB'}$는 최소가 되어야 한다. 따라서 $\overline{AP}+\overline{PB'}$는 직선 $\overline{AB'}$와 같다.
즉, 점 P는 직선 $\overline{AB'}$ 위에 놓여 있으므로, 맞꼭지각에 의해 $ \angle \alpha$와 $\angle \gamma$가 서로 같다. 또한, $\angle \beta = \angle \gamma$이므로, 입사각과 반사각이 서로 같다.
위와 같이, 헤론의 반사 법칙으로 중학교과 고등학교에서 배웠던 입사각과 반사각이 같다는 사실을 알 수 있었다. 하지만 헤론의 반사 법칙은 굴절과 같은 광학적 현상을 일반적으로 설명하는데 무리가 있었다. 따라서 굴절과 같은 광학적 현상을 일반적으로 설명하기 위한 페르마 원리(Fermat's Principle)이 등장하게 되는데, 다음 포스팅에 기술하겠다.
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